ここは試験には出ません。

今日、映画「博士の愛した数式」をDVDで観ていました。
非常に面白いです。ストーリーはもちろん、この映画の中で学校では教えてくれない数学の楽しさを知る事ができます。

数学は、何かの役に立つ事が重要ではなく、証明の美しさが重要である。
私がこの事を知ったのはここ一年以内です。それまでは、どんな学術分野も、何かの役に立つために研究されている、と思っていたのです。
しかし、サイモン・シンや藤原正彦の本を読み、この「数学には美しさが必要」と言う事に妙に納得したのです。
数学は、哲学や芸術に近い分野です。

さて、「数学の面白く、美しい法則」と言う事で、今回は幾つか数学の面白さに触れてみようと思います。
ここでの内容は「博士の愛した数式」にも、サイモン・シン著「フェルマーの最終定理」出てきます。

●友愛数
まずは例を挙げてみます。その例は220と284です。
220の約数を自分以外で挙げて行くと、1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110です。
コレを全て足すと、1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284になります。

次に284も同様に約数を自分以外で挙げて行きます。1,2,4,71,142です。
コレを全て足すと、1+2+4+71+142=220です。

この220と284のように、2つの数において、自分自身以外の約数の和を全て足すと、互いに等しい数になる関係のペアを「友愛数」と言います。
この関係にある数のペアは非常に少数で稀であります。そして、このペアが無限にあるのかどうかも証明されていません。
wikipedia「友愛数」

●完全数
次に完全数です。例を2つ挙げます。こちらも「博士の愛した数式」にも出てきました。
まずは「6」です。
6の約数を自分自身を除いて挙げると、1,2,3です。また、1+2+3=6です。

もう一つ、「28」です。
28の約数を自分自身を除いて挙げると、1,2,4,7,14です。コレを全て足すと、1+2+4+7+14=28です。

この様に自分自身を除いた約数を全て足すと自分自身の数になる、この数字の事を「完全数」と言います。
ちなみにこの完全数、1+2+3+4+・・・+nで表される、という特徴も持っています。
例えば今上に出した28ですが、1+2+3+4+5+6+7=28です。
こんな驚くべき法則を持っているのが「完全数」です。
この完全数においても、未解決の分野があるのです。
この完全数は、1+2+3+4+・・・+nで表されるものの、無限にあるのかも未解明で、発見されている数もそれほど多くありません。
wikipedia「完全数」

●4以上の偶数は、2つの素数の和で表される。
題の通りです。予備校で習いました。とりあえず分かりやすい所で検証してみましょう。
素数を、とりあえず100まで書き出すと、1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97
それをふまえて適当に数字を挙げて見てみましょう。
たとえば、では26はどうでしょう。3+23=26です。34は？31+3=34です。58は？53+3=58です。
こんな感じで、4以上の偶数全てに通用する、っていうのだから、驚きです。

●連続する整数の和を手っ取り早く求める方法。
こちらも、予備校行っていた時に教えてもらった内容です。
インドの神童が10歳の時には使いこなしていた様です。数列の和の公式とかありますが、そんなものを使う必要はありません。
たとえば、1〜50を全て足した時の和を求めてみましょう。
1+2+3+・・・+48+49+50です。いちいち全て足して行くって行為は余りに非効率です。
こうやります。50+49+48+・・・+3+2+1と逆に書いたヤツを筆算で足し算にします。

　　1+ 2+ 3+・・・+48+49+50
+)50+49+48+・・・+ 3+ 2+ 1
------------------------------------------------------
これを縦同士足していくと、1+50=51,2+49=51,3+48=51・・・48+3=51,49+2=51,50+1=51ってな具合に、
51+51+・・・+51+51+51と51を50回足す形になります。51×50です。
51×50=50×50+1×50=2500+50=2550です。
同じものを2回足しているので、最後に2で割ってやります。正解は1275です。
要するに、言いたいのはこういう事です。
1からnまで全て足す場合、(n+1)×nをして、最後に2で割ってやればOKなのです。
1から1000まで全て足した和はいくつか、というと、
1001×1000=1001000。これを2で割って500500が正解です。
信じられなかったら、実際に1から1000まで全て足してみてください。500500になります。

と、こんな訳で、「博士の愛した公式」から一部抜粋して数学の面白い法則を紹介しました。