分かりやすくなる二乗の考え方。

久々に数学の話題です。

以前、3回程二乗に関する話題に触れました。
一つ目は、速算術-1[2ケタの二乗を速く解く。]
二つ目は、(a+b)の二乗を最も単純明快に証明する方法
三つ目は、「何の二乗か」を推理する方法。

今回は二乗関係4回目ですが、分かりやすくなる二乗の考え方です。

前段階として、正方形の面積を思い出して下さい。
縦×横、正方形は全ての辺の長さが等しいので、要するに一辺の二乗です。
んなこと分かってるって？まーまー、これが重要なんです。今回の内容。

まず、二乗は点を使ってこのように表す事が出来ます。


12＝1です。
22は、縦横が+1になるように並べてやります。新しく並べたのが●です。
すると、2×2＝22＝4です。
32、42、52・・・n2と同じようにやってやります。

さて、ここでです。何となく頭に思い浮かんだ人が居るかもしれません。と言っても書いてあるのですが。
実は、新しく並べた●って縦の数と横の数は二乗したい数だけあるのです。
んなこと分かってるわ！と言われそうですが。つまりこういう事です。

では52を例にとって42を使って考えてみます。
42＝16です。
16個の●の外側に、今度は縦横が5になるように●を並べてあげます。
42＋5＋5
しかしこの式では、隅っこの●が1個余分になってしまうので、1を引いてあげます。
42＋5＋5−1
この5＋5−1が、●の数になります。

42＋5＋5−1＝16＋5＋5−1＝25
＝52
となります。

では、5012を例に計算してみましょう。
この使い方で解くと、5002＋501＋501−1＝250000＋501＋501−1＝251001となります。
実際5012を計算すると、251001になります。

この●を使った二乗の考え方、実は結構色々な本に載っている考え方でして、それに次の数字の二乗の計算について自分なりのアレンジを加えてみました。
と、そんな感じでございます。

【証明編】
では、この計算方法を実際に証明してみましょう。
二乗を求めたい数をnとします。
nの二乗は勿論、n2です。
さて、「二乗を求めたい数の前の数」はn-1と表せます。
今回の計算方法ですと、前の数の二乗に求めたい数を2回足して1を引きます。
(n-1)2+n+n-1
と表せます。計算してみましょう。
(n-1)2+n+n-1
=(n2-2n+1)+2n-1
=n2-2n+1+2n-1
=n2

なった！お見事！！と言う訳です。